En utilisant le programme en ligne de commande avec l’option -s ou --stats (disponible sous Linux seulement pour le moment), on peut lancer une série de calculs statistiques et obtenir les résultats ci-dessous. Ce calcul prend tout de même quelques heures sur un ordinateur de bureau d’une puissance commune.

On appellera :

• “tirage” un ensemble de 6 plaques, par exemple : 1;5;6;6;10;75. Par défaut, les plaques sont choisies selon les règles de l'émission : on choisit au hasard 6 plaques parmi 24 (2 plaques pour chaque nombre entre 1 et 10, plus une plaque pour 25, une pour 50, une pour 75 et une pour 100).
• “compte” un nombre entre 100 et 999.
• “problème” la donnée d’un tirage et d’un compte, par exemple 1;5;6;6;10;75 ⇒ 243. Ce problème est “soluble”, car par exemple 243=(75+6)x(10/5+1).

Il y a 13.243 tirages différents, mais ils ne sont pas équiprobables. Comme il y a 900 comptes (entiers entre 100 et 999), il y a un total de 13.243*900 soit 11.918.700 problèmes.

Sur 11.918.700 problèmes au total, il y a 10.871.986 problèmes solubles, contre 1.046.714 insolubles. Attention toutefois, tous ces problèmes ne sont pas équiprobables, car par exemple le tirage 1;2;3;4;5;6 apparait 64 fois plus souvent que 1;1;2;2;3;3 : il faut donc en tenir compte pour calculer la probabilité qu’un problème soit soluble.

La probabilité qu’un problème soit soluble est de 113.554.259/121.136.400 (le dénominateur est 134.596*900), soit environ 93,7 % (cette fraction ne se simplifie que par 7).

Sur un total de 11.918.700 problèmes, on a vu ci-dessus que 10.871.986 sont solubles. On peut compléter ce résultat en notant que parmi les problèmes insolubles :

• 744.562 peuvent être approchés à 1 près
• 100.767 à 2 près
• 36.158 à 3 près
• 19.461 à 4 près
• 12.102 à 5 près

Le pire cas est un unique problème que l’on ne peut approcher qu’à 918 près : c’est bien sûr 1;1;2;2;3;3 ⇒ 999 (le maximum que l’on peut obtenir est (2+1)*(2+1)*3*3=81).

En tenant maintenant compte du fait que tous les tirages ne sont pas équiprobables : on a vu plus haut que la probabilité qu’un problème soit soluble est d’environ 93,7%. Celle qu’on puisse l’approcher à 1 près est d’environ 4,5%, à 2 près 0,6%, à 3 près 0,2%. Au total, plus de 99% des problèmes peuvent être approchés au plus à 3 près.

Le record est détenu conjointement par 100, 102, 104 et 108 : 13240 tirages sur 13243 permettent d’obtenir ces comptes (mais ce ne sont pas les mêmes).

De l’autre côté, seuls 9017 tirages sur 13243 permettent d’obtenir 947 (qui est un nombre premier). Puis viennent 941 avec 9045 tirages, et 967 avec 9166 tirages.

Si l’on s’intéresse maintenant aux probabilités, seul 108 est obtenu avec la probabilité maximale de 134.593/134.596 soit environ 99,998%. 105 obtient 134.588, et 100, 102 et 104 sont à égalité avec 134.587.

De l’autre côté, c’est toujours 947 le plus défavorisé : il n’est obtenu que 98.598/134.596 soit environ 73,3% du temps. Viennent ensuite 941 avec 98.768 et 933 avec 99.658.

Sur les 13243 tirages, 1226 permettent de réaliser tous les comptes entre 100 et 999. Si on trie les tirages par ordre lexicographique, le plus petit est 1;2;3;4;5;100 et le plus grand 8;9;9;10;25;75.

En termes de probabilités, on obtient qu’étant donné un tirage, on a 24.524/134.596 chances qu’il permette d’obtenir tous les comptes, soit environ 18,2%.

Les tirages les moins prolifiques permettent d’obtenir respectivement 0,1,5 et 8 comptes (le seul tirage ne permettant d’obtenir aucun compte entre 100 et 999 étant bien sûr 1;1;2;2;3;3).

A l’opposé, si on a vu ci-dessus que 1226 tirages permettent d’obtenir tous les comptes, sur un total de 13243 tirages, il y en a 582 qui permettent d’en obtenir 899 (pour une probabilité de 6,7%) et 454 qui permettent d’en obtenir 898 (pour une probabilité de 4,6%).

Pour avoir une idée de la répartition, plus de 50% des tirages permettent d’obtenir au moins 888 comptes sur 900.